HÀM HẰNG LÀ GÌ

  -  

Tổng quát hơn, ta xét

*
là hàm suy rộng trên
*
và đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộng
*
thì
*
là hàm suy rộng hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng là gì

Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền (mở+liên thông) trong không gian

*
Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

*
được gọi là hàm lồi nếu

với mọi cặp điểm

*
ta đều có

*

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho

*
khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó

*

Khi đó nếu

*
bị chặn trên, nghĩa là có số
*
để

*

thì

*
là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn

*
hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

*
là hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hai
*
là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

*

hay

*

Ta có thể thấy điều này qua ví dụ

*
*
, hay
*
có đồ thị tuyến tính từng khúc có

*

với

*
là hoành độ điểm gãy,
*
là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm
*
.

Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

*

Khi đó nếu

*
bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai

*
ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sử
*

*

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn

*
thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và

*
Chú ý ta có thể coi
*
theo cách
*
Ta quan tâm đến các hàm
*
. Ta có các đạo hàm riêng

*
,

*
,

với

*

Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy (quasiregular) sau:

Hàm

*
được gọi là tựa chính quy nếu

*

với hằng số

*

Khi đó ta có kết quả sau:

Nếu hàm tựa chính quy

*
thỏa mãn:

*
0," class="latex" />

thì

*
là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường hợp

*
ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:

-) Jacobien

*
,

-) chuẩn của đạo ánh

*

-) và

*

nên

*
là tựa chính quy khi và chỉ khi

*

hay

*

hoặc

*

với hằng số

*
.

Xem thêm: tải game nhất vip về điện thoại

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong

*
như sau:

Hàm

*
thỏa mãn

*

với hằng số

*

được gọi là hàm tựa chính quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

*

Khi đó ta cũng có

*

với hằng số

*

Đặt

*
lần lượt là số nhỏ nhất trong các
*
thỏa mãn (1), (2).

Trong trường hợp

*
ta có
*

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong

*
như sau:

Cho

*
là hàm tựa chính quy thỏa mãn

*

với

*
Khi đó
*
là hàm hằng.

Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp

*
, hàm tựa chính quy với hằng số
*
hay
*
, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trên
*
cũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm

*
của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

*

trong đó

*
là các hàm đo được thỏa mãn

*

*

trong đó

*
là các hằng số dương.

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Ta quan sát lại bài viết:

– bắt đầu xét hàm

*
,

– mở rộng

*
,

– rồi

*
*
,

– quay trở lại

*

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng

*
của hệ phương trình elliptic

*

với

*

và hệ số

*
thỏa mãn

*

Khi đó, nếu

*
có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

*

thì

*
là đa thức bậc
*
nghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc
*

Đặc biệt nếu

*
thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

*
được gọi là nghiệm của hệ (3) nếu

*

Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian

*
Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền (mở+liên thông). Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:

– hàm

*
là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.

Xem thêm: Thời Trang Công Chúa Lọ Lem Giá Tốt Tháng 2, 2022, Game Cô Bé Lọ Lem, Trang Điểm Cho Lọ Lem

Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm

*
là miền trong
*
H. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:

Hàm đo được

*
thỏa mãn

*

thì

*
là hàm hằng.

Tổng quát hơn một chút, với

*
thỏa mãn

*

*
\delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />